...Τα Πάντα Προτεραιότης!

'Εγραψα νωρίτερα, για ένα πρόβλημα που βρήκα στο ένθετο "Ερευνητές" της Καθημερινής το οποίο ήταν λίγο στραβά δοσμένο, ειδικά για τους (πολύ) νέους για τους οποίους μάλλον προορίζεται το ένθετο και να που σήμερα έπεσα απάνω σε ένα παρόμοιο δοσμένο με το σωστό τρόπο σε ένα έντυπο που προορίζεται για πιο ηλικιωμένους (ξερνάω) αναγνώστες . Νάτο:

Σκούρα τα πράγματα...

Δεν συνηθίζω να λύνω τους γρίφους των εφημερίδων ή τουλάχιστον, δεν το κάνω φανατικά. Το συγκεκριμένο όμως μου την είχε στημένη σήμερα, μια μέρα μετά το επίμαχο πόστ, στις τελευταίες σελίδες του {i}. Το {i} εκτός απο 9ο γράμμα του Αγγλικού αλφαβήττου είναι και μια παραφυ(λλ)άδα της Αγγλικής εφημερίδας The Independent. Δεν θα εξάρω τα απίθανα χαρακτηριστικά του {i} ούτε το καταπληκτικό layout, την ενδιαφέρουσα επιλογή θεμάτων και τη γεμάτη γεύση του γιατί κοστίζει 20p και...'nough said.

Στο συγκεκριμένο γρίφο λοιπόν, ο εκφωνητής, μας υποψιάζει απο την αρχή οτι η προτεραιότητα των πράξεων δεν ισχύει κατα τα γνωστά:

"...The calculations should be performed from left to right and top to bottom (rather than strict mathematical order that would have multiplication performed before addition for instance)."

Και σίγουρα, για αυτό τον γρίφο, θα χρειαστούμε λίγο περισσότερη βοήθεια (ή λίγο περισσότερη δουλειά) καθώς, έχουμε 7 αγνώστους, 6 εξισώσεις και τη (σημαντική) πληροφορία οτι όλοι οι άγνωστοι είναι διαφορετικοί μεταξύ τους και περιορισμένοι στο διάστημα [1,9] (εκτός των 1, 4 που δίνονται).

Όπως και στο προηγούμενο πρόβλημα, έχουμε κι εδώ δύο επιλογές. Η μία είναι να δοκιμάσουμε μία μία και τις 5040 διαφορετικές μεταθέσεις των πιθανών λύσεων {2,3,5,6,7,8,9} στα τετράγωνα και η δεύτερη (σε αυτή τη δύσκολη περίπτωση) είναι να κάνουμε αυτό το ψάξιμο ανάμεσα στις λύσεις λίγο πιο έξυπνο.

Ένας τρόπος που μπορεί να γίνει αυτό στη συγκεκριμένη περίπτωση είναι να εκμεταλευτούμε τη πληροφορία οτι όλοι οι αριθμοί είναι ακέραιοι μεταξύ των [1,9] και το γεγονός οτι οι 4 στις 6 εξισώσεις περιέχουν ουσιαστικά, ένα γινόμενο. Δηλαδή, αυτές οι εξισώσεις είναι της μορφής Γ * Δ = Ε με το Γ να αναλύεται επι μέρους σε (Α+Β). Ποιοί αριθμοί μέσα στο [1,9] είναι διαιρέτες των λύσεων; Για να δούμε:

56: 7,8
40: 5,8
20: 4,5

Επίσης ας αριθμήσουμε και τους αγνώστους απο αριστερά πρός τα δεξιά και απο πάνω πρός τα κάτω σαν Χ1,Χ2,Χ3,Χ4,Χ5,Χ6,Χ7. Οι συνήθεις ύποπτοι.

Ο Χ3 εχει προδοθεί ήδη απο τους συνεργάτες του:

(1-Χ3)*4 = -20 =>
(1-Χ3)=-20/4 =>
Χ3= 5+1 =>
Χ3 = 6

Η μεσαία γραμμή γίνεται τώρα (6 + Χ4) * Χ5 = 40. Κανονικά εδώ θα βάζαμε την υπόθεση στο αρχείο, όμως τώρα, δύο περιπτώσεις υπάρχουν ή 5*8=40 ή 8*5=40, οπότε ή 6+Χ4=8 ή 6+Χ4=5. Προφανώς 6+Χ4=8 γιατί οι λύσεις πρέπει να είναι θετικές. Άρα ο Χ4=2 και ο Χ5=8. Επίθεση στη δεύτερη στήλη, (Χ1-2)*Χ6=56, (Χ1-2)=7 ή (Χ1-2)=8...Χμμμ, ελεύθεροι λόγω έλλειψης στοιχείων...Όχι τόσο γρήγορα όμως!!!...Η πρώτη γραμμή κελάηδησε στην ανάκριση: (1-Χ1)=-7 ΚΑΙ (Χ1-2)=8 ή (1-Χ1)=-8 ΚΑΙ (Χ1-2)=7...Προφανώς η δεύτερη εκδοχή (και πάλι λόγω της προδιαγραφής για θετικές λύσεις)...Άρα Χ1=9 και (1-9) * Χ2 = -56 άρα Χ2=7 και παρομοίως Χ6=8. Μετά απο αυτό οι Χ5 και Χ7 πανικοβλήθηκαν και παραδόθηκαν μόνοι τους: Χ5=5 και Χ7=3. Για να το κλείσουμε λοιπόν [1,9,7,6,2,5,4,8,3] αντιστοιχούν στα Χ1,Χ2,Χ3,Χ4,Χ5,Χ6,Χ7,Χ8,Χ9

Υπάρχει μια συγκεκριμένη ευχαρίστηση όταν ανακαλύπτεις κάτι ή όταν λύνεις ένα γρίφο. Αν δεν γεννιόμαστε με αυτή την περιέργεια και χαρά τότε ίσως την αποκτάμε μεγαλώνοντας, χωρίς να το καταλαβαίνουμε, μέσα απο το παιχνίδι (και πιθανότατα την τσαλακώνουμε όταν πάμε στο σχολείο). Οι μαθηματικοί γρίφοι και τα μαθηματικά παιχνίδια δεν δημιουργούνται για να δείχνουμε με το δάχτυλο αυτούς που δεν μπόρεσαν να τα λύσουν (ή που δεν ήξεραν ΤΟ ΚΟΛΠΟ για να τα λύσουν....μεγάλη υπόθεση το "κόλπο"...μακάρι όλα τα προβλήματα σε μια ζωή να λύνονταν με..."κόλπο"). Τα περισσότερα μαθηματικά παιχνίδια ανταποκρίνονται σε πραγματικές κατάστασεις, πραγματικά προβλήματα, πολλές φορές πολύ δύσκολα. Έχει λοιπόν την αξία του αυτό το παιχνίδι.

Προτεραιότης, Προτεραιοτήτων...

Ιδού η απορεία...


Κάποιο βράδυ της περασμένης εβδομάδας, έπεσε στα χέρια μου ένα ένθετο της εφημερίδας "Η Καθημερινή" με τίτλο "Οι Ερευνητές" το οποίο προορίζεται μάλλον για το πιο νεαρό κοινό της εφημερίδας.

Έχοντας λοιπόν πάθει overdose χαλάρωσης, στερητικό σύνδρομο (πρός κατατονία) απο την μακροχρόνια έλλειψη δικτύωσης και υπο την στήριξη σημαντικών ποσοτήτων πεπονιού και αδιάφορης κουβεντούλας, άρχισα να το ξεφυλλίζω.

Κι εκεί (λίγο μετά το εξώφυλλο) που αναρρωτιόμουν σιωπηλά γιατί το έκανα αυτό στον εαυτό μου, έρχομαι αντιμέτωπος με τις σπαζοκεφαλιές της σελίδας 17...Έλατε κι εσείς:

Mind The Gap(s)

Θεσπέσια! Σκέφτομαι και βουτάω το πατροπαράδοτο bic απο τον standard εξοπλισμό γραφείου, τη φρουτιέρα στη μέση του τραπεζιού. Μισό λεπτό όμως, κάτι δείχνει να μην πηγαίνει καλά εδώ...

Όπως αναφέρεται και στην εισαγωγή της άσκησης "Συμπλήρωσε τα κενά", το αντικείμενο είναι να τοποθετήσουμε τους 5 αριθμούς (2,4,5,12 και 32) στα κενά τετράγωνα του πίνακα έτσι ώστε να επαληθεύονται όλες οι εξισώσεις χωρίς καμία άλλη ένδειξη.

Εδώ βέβαια, υπάρχουν δύο προσεγγίσεις. Η μια, είναι να δοκιμάσουμε μια, μια και τις 120 μεταθέσεις που υποννοεί το πρόβλημα και η άλλη είναι να λύσουμε τις εξισώσεις και να προκύψει η σωστή θέση των αριθμών απο μόνη της σε πολύ συντομότερο χρόνο!

Έτσι όμως όπως έχει δοθεί το πρόβλημα, καμία απο τις παραπάνω προσεγγίσεις δεν θα έχει το επιθυμητό αποτέλεσμα για εκπαιδευμένους ανθρώπους 12-112 ετών. Ο λόγος είναι μια μικρή λεπτομέρεια που ονομάζεται "προτεραιότητα των μαθηματικών πράξεων".

Σύμφωνα λοιπόν με αυτή, όταν βρεθούμε στην άγρια φύση αντιμέτωποι με μια παράσταση που οδηγεί σε ένα αποτέλεσμα, τότε:
  • ΠΡΩΤΑ επεξεργαζόμαστε τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις; και
  • ΜΕΤΑ τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις
  • Αν δε η παράσταση περιέχει παρενθέσεις τότε εφαρμόζουμε τους παραπάνω δύο κανόνες σε όλες τις παρενθέσεις ΠΡΙΝ απο οποιαδήποτε άλλη πράξη! Είναι δηλαδή οι παρενθέσεις, αυτοτελείς μικρότερες παραστάσεις που πρέπει να υπολογιστούν ξεχωριστά απο τις μεγαλύτερες παραστάσεις στις οποίες ανήκουν.
Η προτεραιότητα των πράξεων είναι απο τα πρώτα πράγματα που διδάσκονται "Οι Ερευνητές" στο σχολείο, στο μάθημα των μαθηματικών. Με αυτό τον τρόπο 1 + 5/5 = 2 (ευτυχώς).

Οπλισμένοι με αυτό το κομματάκι γνώσης, πάμε τώρα να λύσουμε την πρώτη στήλη του προβλήματος, που ουσιαστικά, είναι λυμένη απο μόνη της αφού περιέχει μόνο ένα άγνωστο...Και πάει κάπως έτσι:

Χ1 - 8 / 6 = 4 =>
Χ1 = 4 + 8 / 6 =>
Χ1 = 32 / 6

Ο Χ1 λοιπόν, έχει προκύψει πολύ κοντά στο 5 της εκφώνησης αλλά προφανώς το 32 / 6 δεν είναι ο αριθμός 5. Άντε, αφού βρήκαμε τον Χ1, πάμε και για τον Χ2, δηλαδή για την πρώτη γραμμή του προβλήματος αφού τώρα είναι κι αυτή ουσιαστικά λυμένη:

32 / 6 - Χ2 / 7 = 4 =>
-Χ2 / 7 = 4 - 32 / 6 =>
Χ2 = (24 / 6 - 32 / 6) / (-1 / 7) =>
Χ2 = (-8 / 6) / (-1 / 7) =>
Χ2 = -56 / -6 =>
Χ2 = 56 / 6

Μάλιστα! Τώρα σίγουρα κάτι δεν πάει καλά, γιατί το 56/6 δίνει 9.3333333333... και αυτός ο αριθμός δεν είναι ούτε κάν κοντά σε κανένα δεδομένο της εκφώνησης...

Εδώ λοιπόν, ο μικρός μας "Ερευνητής" πιθανότατα έχει ιδρώσει, αλλά, δεν το βάζει κάτω...λίγο απογοητευμένος, αλλά αποφασισμένος να δώσει μια λύση στο πρόβλημα με κάθε (νόμιμο ΚΑΙ ηθικό) μέσο, αποφασίζει να καταφύγει στη "χαζή" λύση...Να δοκιμάσει δηλαδή τους αριθμούς έναν, έναν. Και το πιάνει απο την αρχή:

Χ1 - 8 / 6 = 4 Για X1=32

32 - 8 / 6 = 4 =>
192 / 6 - 8 / 6 = 4 ...ΤΖΙΦΟΣ!

Ανάστατος ο μικρός και αποφασισμένος "Ερευνητής", αρχίζει να αμφιβάλει για τον εαυτό του...ξανακάνει τις πράξεις απο την αρχή...Τζίφος και πάλι! Δεν έχει κάνει κανένα λάθος, μα δεν έχει βρεί και καμιά λύση...Όλα είναι σωστά και όλα είναι λάθος!!! Αποφασίζει να πάρει τη βοήθεια του κοινού και ρωτάει τους γονείς του οι οποίοι, λίγο η καλοκαιρινή αύρα, λίγο το πεπόνι, δεν έχουν και πολύ κουράγιο για τέτοια πράγματα βραδιάτικα και του λένε να το μαρκάρει και να ρωτήσει το δάσκαλο απο Σεπτέμβρη (!)

Αποκαρδιομένος και ηττημένος αποφασίζει να παίξει την τελευταία πράξη στο προσωπικό του καλοκαιρινό δράμα καθώς ακόμα και οι γρύλοι γύρω του γρυλίζουν κάτι που ακούγεται σαν το Ρέκβιεμ!...Αποφασίζει...αντίθετα στις αρχές του.....Να κοιτάξει το λυσάριο!!!

"Reality" Check...

Κοιτάει λοιπόν στην επόμενη σελίδα (όπου οι λύσεις παραδίνονται ανάποδα...και καλά για πιο δύσκολα) και παρατηρεί -μεταξύ άλλων- οτι ο Χ1 είναι το 32 και ο Χ2 είναι το 4 (!!!!)....

Τριπάρει! Βουτάει το bic, καρφώνει τη γιαγιά στο μάτι πίνει 4 depon, 2 μπύρες, 5 καφέδες με 12 ζάχαρες, βάζει το ραδιόφωνο στα 32 κι αρχίζει να ουρλιάζει οτι η μόνη αλήθεια βρίσκεται στους Sex Pistols!!!

Και δεν έχει άδικο...Γιατί οι λύσεις αυτές, είναι μέν οι σωστές ΜΟΝΟ ΑΝ τοποθετηθούν παρενθέσεις στις σωστές θέσεις...Για παράδειγμα:

(Χ1 - 8) / 6 = 4 =>
Χ1 - 8 = (4/1)/(1/6) =>
Χ1 - 8 = 24 =>
Χ1 = 24 + 8 =>
Χ1 = 32

Πράγμα το οποίο δεν εννοείται πουθενά στην άσκηση, ούτε κάν σαν ένα ύποπτο σχόλιο οτι ίσως "κάποιο ζαλισμένο ρομποτάκι, έχει πάθει κάποια βλάβη και όλο δίνει λάθος αποτελέσματα, μπορείτε να βρείτε το σφάλμα και να λύσετε το πρόβλημα;;;;;;;;"

Λεπτομέρειες θα μου πείτε....Τρίχες...Qραφέξαλα...Μέχρι όμως να πάμε και στην αμέσως επόμενη σπαζοκεφαλιά, όπου οι μικροί μας "Ερευνητές" καλούνται να χρωματίσουν ένα σκουλικάκι ανάλογα με τα αποτελέσματα των πράξεων που βρίσκονται τυπωμένες στο κορμί του...Οι οποίες "παραδόξως" ερμηνεύονται με τον σωστό τρόπο (!!!!) Δηλαδή το 13 - 2 * 6 = 1...ΚΑΙ ΟΧΙ 66!!

Τελικά, τι να υποθέσει ο μικρός "Ερευνητής"; Πώς θα κρίνει τη κατάσταση; Τι είναι σωστό και τι λάθος;

P.S. Sorry Alexis, i couldn't let this one go

Καλοτάξιδο...

Κατεβήκαμε για λίγες μέρες στη Χαλκίδα κι έτρεχα πάλι να μαζέψω τις φωτογραφίες...Έχω αφήσει πολλές και στη Χαλκίδα (αλλά και στην Αθήνα) κι εύχομαι κάθε φορά να τις προλάβω. Μερικές γίνονται πια αφορμή για μια βόλτα απο παλιά γνώριμα μέρη...που έχουν βέβαια γίνει πια αγνώριστα...

Άλλες πάλι, στέκονται εκεί, ακίνητες, στο ίδιο σημείο, για τόσο πολύ καιρό που πλέον ο εγκέφαλος τις ερμηνεύει σαν "υπόβαθρο" και δεν τους δίνει και πολύ σημασία. Γίνονται έτσι τόσο αδιάφορες, σαν μια οροσειρά που μοιάζει με 4 καμήλες που κοιτάνε απορημένες μια καμηλοπάρδαλη...Αν ζούσες απέναντι απο την οροσειρά, δεν θα σου έκανε και τόσο μεγάλη εντύπωση.

Να εδώ μια τέτοια περίπτωση:

Καλοτάξιδο...
Καλοτάξιδο...

Θυμηθείτε βέβαια οτι η ίδια πόλη μας έχει δώσει τα φωτιστικά του Γιάννη Σκιά, την διαιτολόγο Ιωάννα Κατσαρόλη......και έπεται συνέχεια.
top