Με 2 Καβάτζες...

Στο ανεξάντλητο θέμα των μαθηματικών γρίφων και το σημερινό μας...νουμεράκι, σε μια σειρά απο κείμενα με αφορμή εκείνο το θέμα με το ένθετο της Καθημερινής. Το σημερινό δεν έχει εικόνες...έχει όμως γουστόζικο προβληματάκι:

Όπως είπαμε, τα περισσότερα μαθηματικά παιχνίδια μπορούν να αντιστοιχηθούν σε πραγματικές κατάστασεις και προβλήματα. Προβλήματα παρόμοια με αυτά που είδαμε στις πίσω σελίδες των εφημερίδων, προκύπτουν συνέχεια σε πολλούς τεχνικούς τομείς όπου ο στόχος είναι να ικανοποιηθούν ταυτόχρονα μια σειρά απο περιορισμούς. 

Για παράδειγμα: Θέλουμε να φτιάξουμε μια γέφυρα που να είναι μεγάλη (σε μήκος), ελαφριά, φτηνή, ανθεκτική και εύκαμπτη. Θέλουμε να φτιάξουμε ένα αεροπλάνο που να είναι μεγάλο, γρήγορο και οικονομικό. Θέλουμε να δρομολογήσουμε οχήματα μέσα απο μια σειρά στάσεων ώστε, να παρέχουμε την υπηρεσία σε όσο το δυνατόν περισσότερους ανθρώπους με τα λιγότερα οχήματα και τον μικρότερο μέσο όρο αναμονής ανάμεσα στις στάσεις.

Με τέτοιες όμορφες σπαζοκεφαλιές λοιπόν, ασχολιόταν ο (μακαρίτης) Martin Gardner γράφοντας στο Scientific American και άλλα περιοδικά απο το 1956 και για περίπου 45 χρόνια. Οι γρίφοι μαζί με τις λύσεις τους έχουν δημοσιευτεί σε μια πολύ ωραία συλλογή απο 15 βιβλία (The New Martin Gardner Library - Cambridge University Press) υπο την επιμέλεια μιας παρέας που περιλαμβάνει τους Donald Knuth και John Conway (αλλά και τους Donald Albers, Gerald Alexanderson, Richard Guy, Harold Jacobs και Peter Renz). Τα βιβλία εκδίδονται σιγά σιγά...και καταναλώνονται ακόμα πιο αργά :-)

Απο το δεύτερο βιβλίο λοιπόν (σελίδα 139) διαβάζουμε:

"An unlimited supply of gasoline is available at one edge of a desert 800 miles wide, but there is no source on the desert itself. A truck can carry enough gasoline to go 500 miles (this will be called one "load") and it can build up its own refueling stations at any spot along the way. These caches may be any size and it is assumed that there is no evaporation loss.

What is the minimum amount (in loads) of gasoline the truck will require in order to cross the desert? Is there a limit to the width of a desert the truck can cross?"

Ο στόχος λοιπόν είναι να διασχίσουμε μια έρημο που είναι 800 μίλια πλατιά, με ένα φορτηγό που μπορεί με ένα γέμισμα να διασχίσει 500 μίλια. Στο σημείο εκκίνησης υπάρχει μια αστείρευτη πηγή καυσίμου (ή μια πήγη που για τις δεδομένες συνθήκες μπορεί να θεωρηθεί αστείρευτη) και επί της διαδρομής έχουμε τη δυνατότητα να στήσουμε δεξαμενές οποιασδήποτε χωρητικότητας (οι δεξαμενές μπορούν να χωρέσουν μια άπειρη ποσότητα καυσίμου ή για τις δεδομένες συνθήκες μπορούν να θεωρηθούν...απύθμενες (!)). Ποιός είναι ο ελάχιστος αριθμός ανεφοδιασμών για να διασχίσει το φορτηγό την έρημο; Υπάρχει όριο στο πόσο πλατιά έρημο μπορεί να διασχίσει αυτό το φορτηγό;;;;

Για φαντάσου λοιπόν αναγνώστη μου, να δουλεύεις λέει σε μια πετρελαιοπηγή / διυλιστήριο στη μέση της ερήμου σε μια χώρα με ασταθές πολιτικό καθεστώς. Και να γίνει λέει μια μεγάλη πολιτική αναταραχή και να βρεθείτε αποκομμένοι απο όλους κι απο όλα. Η βοήθεια να καθυστερεί να έρθει και εσύ να βλέπεις απο τη μια μεριά οτι κάθε μέρα που θα περνάει, θα σε φέρνει όλο και πιο κοντά στη ρουλέτα του "...ποιός, ποιός, ποιός θα φαγωθεί, να δούμε ποιός, ποιός ποιός θα φαγωθεί..." και απο την άλλη, τα φορτηγά για τις ανάγκες της πετρελαιοπηγής. Πρόχειρα και τυπικά στην αποστολή τους. Η εταιρία έχει κάνει τα πάντα για να αποφύγει την πειρατεία και το παραεμπόριο. 500 μίλια με ένα γέμισμα και βάνα με ηλεκτρονικό κλείδωμα για την καταγραφή κάθε μετάγγισης. Το καύσιμο ρέει μόνο ανάμεσα στις καταγεγραμένες φορητές δεξαμενές ή...δεν ρέει καθόλου. Αν μείνεις, θα σε φάνε ή θα ψοφήσεις τελευταίος. Αν φύγεις, ίσως πεθάνεις προσπαθόντας αλλά ίσως και να καταφέρεις να διασχίσεις την έρημο.Όπως και να 'χεί....το ψυγείο και η δεξαμενή του νερού σου λένε πώς έχεις δεν έχεις 15 μέρες.....Μισό λεπτό, 500 μίλια....άρα μέχρι τα 300 πρέπει να έχουμε....οπότε τραβάμε μια δεξαμενή.......επιστροφή.....γέμισμα....Όχι....οπότε ίσως άλλη μια εδώ.....Ωχ! Σωθήκαμε!

Μα καλά τι λέω! Γίνονται αυτά τα πράγματα;;; Χώρα με έρημο, πετρέλαιο και ασταθές πολιτικό καθεστώς!!!! Να δουλεύεις σε πετρελαιοπηγή και να βρεθείς αποκομένος;;;

Qραφέξαλα, δεν το λύνω!

Σημειώσεις:

• Ο κλάδος των μαθηματικών στον οποίο ανήκουν αυτοί οι γρίφοι, ονομάζεται Recreational Mathematics και δεν είναι καθόλου παίξε-γέλασε. Έχοντας διαβάσει τα δύο απο τα τρία διαθέσιμα βιβλία του Gardner, δεν βρίσκω τίποτα το "Recreational" (...Mathematics όμως σίγουρα). Με ελάχιστες εξαιρέσεις, οι γρίφοι ανταποκρίνονται σε πρακτικά προβλήματα και το γεγονός οτι δίνονται με αυτό το "παιχνιδίστικο" περιτύλιγμα ίσως τους κάνει ιδανικούς για τη διδασκαλία των μαθηματικών.
  
• Νωρίτερα στο ίδιο βιβλίο (σελ 39) δίνεται ένα παρόμοιο ωραίο πρόβλημα που πάει κάπως έτσι:
  "A group of airplanes is based on a small island. The tank of each plane holds just enough fuel to take it halfway around the world. Any desired amount of fuel can be transferred from the tank of one plane to the tank of another while the planes are in flight. The only source of fuel is on the island and for the purposes of the problem it is assumed that there is no time lost in refueling either in the air or on the ground. What is the smallest number of planes that will ensure the flight of one plane around the world on a great circle, assuming that the planes have the same constant ground speed and rate of fuel consumption and that all planes return safely to their island base?".....Εδώ σε θέλω Κάβουρα ;-) 
• Έγραφα στο προηγούμενο κείμενο οτι οι μαθηματικοί γρίφοι δεν δημιουργούνται για να δείχνουμε με το δάχτυλο αυτούς που δεν κατάφεραν να τους λύσουν. Δεν είσαι βλάκας αναγνώστη μου αν δεν καταφέρεις να λύσεις ένα γρίφο απο το πουθενά. Προσωπικά....ένιωσα αρκετές φορές άσχημα διαβάζοντας τα βιβλία του Gardner (ευτυχώς!) :-) . Πρέπει να το καταλάβεις αυτό απο νωρίς. Για να αρχίσεις να λύνεις γρίφους και προβλήματα πρέπει πρώτα να δείς ΠΩΣ λύνονται τα προβλήματα, τι σημαίνουν τα προβλήματα και κυρίως τον τρόπο σκέψης. Πως περνάς απο τη διατύπωση στις σχέσεις, πως απλοποιείς τις σχέσεις, σε τι είδους πρόβλημα παραπέμπουν αυτές οι σχέσεις; Τι σημαίνουν οι εξισώσεις σε σχέση με τη πραγματικότητα; Είναι λίγο δύσκολο (όσο ίσως το να μάθεις να περπατάς, το έχεις ξεχάσει πόσο δύσκολο ήταν γιατί το είχες πάρει σαν......παιχνίδι -και βέβαια, δεν ήξερες τι θα πεί χρόνος και άγχος (άλλη κουβέντα αυτή)) αλλά για φαντάσου...Να σχεδιάσεις, λέει, μια μέρα ένα ολόκληρο αεροπλάνο! Μια γέφυρα! Το επόμενο Internet! Ένα κομμάτι του ISS....Ωραία πράγματα αναγνώστη μου...